Câu 1:

a)

\(BM=MC=\frac{1}{2}BC\) (M là trung điểm của BC)

\(AN=ND=\frac{1}{2}AD\) (N là trung điểm của AD)

mà \(BC=AD\) (ABCD là hình bình hành)

\(\Rightarrow AN=ND=BM=MC\) (1)

mà ND // BM

=> BMDN là hình bình hành

=> BN // MD (2)

=> MDKB là hình thang

b)

MC = AN (theo 1)

mà MC // AN (ABCD là hình bình hành)

=> AMCN là hình bình hành

=> AM // CN (3)

Từ (2) và (3)

=> MPNQ là hình bình hành (4)

BM = AN (theo 1)

mà BM // AN (ABCD là hình bình hành)

=> ABMN là hình bình hành

mà AB = BM \(\left(=\frac{1}{2}BC\right)\)

=> ABMN là hình thoi

=> AM _I_ BN

=> MPN = 90⁰ (5)

Từ (4) và (5)

=> MPNQ là hình chữ nhật

c)

MPNQ là hình vuông

<=> MN là tia phân giác của PMQ

mà MN là đường trung tuyến của tam giác MDA vuông tại M (N là trung điểm của AD; MPNQ là hình chữ nhật)

=> Tam giác MDA vuông cân tại M có MN là đường trung tuyến

=> MN là đường cao của tam giác MDA

=> MNA = 90⁰

mà MNA = ABM (ABMN là hình thoi)

=> ABM = 90⁰

mà ABCD là hình bình hành

=> ABCD là hình chữ nhật

Câu 2:

a)

\(AE=EB=\frac{AB}{2}\) (E là trung điểm của của AB)

\(CF=FD=\frac{CD}{2}\) (F là trung điểm của của CD)

mà AB = CD (ABCD là hình bình hành)

=> AE = EB = CF = FD (1)

mà AE // CF (ABCD là hình bình hành)

=> AECF là hình bình hành

b)

AE = FD (theo 1)

mà AE // FD (ABCD là hình bình hành)

=> AEFD là hình bình hành

mà DA = AE \(\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)

=> AEFD là hình thoi

=> AF _I_ ED

=> EMF = 90⁰ (2)

EB = FD (theo 1)

mà EB // FD (ABCD là hình bình hành)

=> EBFD là hình bình hành

=> EM // NF

mà EN // MF (AECF là hình bình hành)

=> EMFN là hình bình hành

mà EMF = 90⁰ (theo 2)

=> EMFN là hình chữ nhật

c)

EMFN là hình vuông

<=> EF là tia phân giác của MEN

mà EF là đường trung tuyến của tam giác ECD vuông tại E (F là trung điểm của CD; EMFN là hình chữ nhật)

=> Tam giác ECD vuông cân tại E có EF là đường trung tuyến

=> EF là đường cao của tam giác ECD

=> EFD = 90⁰

mà EFD = DAE (AEFD là hình thoi)

=> DAE = 90⁰

mà ABCD là hình bình hành

=> ABCD là hình chữ nhật

tự vẽ hình nhé bạn

a) xét tg ABMN có

AN = BM ( bạn tự c/m)

AN // BM ( bạn tự c/m)

==> ABMN hbh

mà AN = AB ==> ABMN hthoi ==> góc P = 90 độ

==> KB // DM ( cug vuông vs PM)

==> MDKB hthang

b) c/m t² ta có NMDC hthoi ==> góc Q = 90 độ

Xét tam giác ADM có AN = ND = NM ( ABMN hthoi)

==> ADM tam giác vuông ( Đ.lý Py ta go đảo)

==> góc M = 90 độ

ta có góc P = góc M = góc Q = 90 độ ==> PMQN hcn

c) S_{hcn PMQN} = PM . MQ = 8 . 5 = 40 cm²

d) ( tự c/m :P)

dc thì like nhé :)))

a: Xét tứ giác ABMN có 

AN//BM

AN=BM

Do đó: ABMN là hình bình hành

mà AB=BM

nên ABMN là hình thoi

a: Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

Suy ra: DM//BN

hay DM//BK

=>BMDK là hình thang

b: Xét tứ giác BMNA có

BM//NA

BM=NA

Do đó: BMNA là hình bình hành

mà BM=BA

nên BMNA là hình thoi

Suy ra: MA vuông góc với BN tại P

Ta có: MD//BN

nên MQ//PN

Xét tứ giác AMCN có 

MC//AN

MC=AN

DO đó: AMCN là hình bình hành

Suy ra: AM//CN

=>PM//NQ

Xét tứ giác PMQN có 

PM//QN

PN//QM

Do đó: PMQN là hình bình hành

mà \(\widehat{MPN}=90^0\)

nên PMQN là hình chữ nhật

a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang.( bạn tự vẽ hình nhé!)
- Đầu tiên CM tứ giác MBND là hình bình hành.
Vì ABCD là hình bình hành  AD = BC  AN = ND = BM = MC
Và  AD // BC=>  ND // BM
Xét tứ giác MBND, ta có:
ND // BM 
ND = BM
 Tứ giác MBND là hình bình hành. 
 NB // MD . Mà NB giao với MD = {K}=>  B, N , K thẳng hàng.
Xét tứ giác MBKD, ta có:
NB // MD
B, N , K thẳng hàng
=> MD // BK
 =>Tứ giác MBKD là hình thang ( đpcm ).

b)
Vì P thuộc BK, Q thuộc MD mà BK // MD  QM // PN ( 1 )
Vì P thuộc AM, Q thuộc NC  PM // QN (2)
Từ (1), (2)=>  PMQN là hình bình hành. ( 3 )
Theo CM ở câu a)  ANMB là hình thoi ( có 4 cạnh bằng nhau )
 AM vuông góc với BN. (4)
Từ (3), (4)  PMQN là hình chữ nhật.
c) Để PMQN là hình vuông thì hình bình hành phải có thêm điều kiện là góc A = 90^o
Nếu A = 90^o  thì tứ giác ANMB là hình vuông=>  AM vuông góc với BN
Theo tính chất đường chéo của hình vuông=>  PN = PM
 Hình chữ nhật PMQN có 2 cạnh kề bằng nhau nên nó sẽ là hình vuông ( đpcm )